Заходите в панель управления и в главной выбираете пункт "перенос домена".
Там будет три варианта:
Способ 1. Приобрести домен на domain.ucoz.com
Способ 2. Перенести существующий домен на DNS-сервера uCoz
Способ 3. Прикрепить существующее доменное имя без переноса домена на сервера uCoz

Домен у нас уже зарегистрирован, так что выбираем способ два. Нажимаем "Продолжить", откроется окошко:

1. Вводите свое доменное имя и жмете "припарковать домен”.
2. Откроется окно с надписью: "Запрос на парковку домена в стадии исполнения”. Ждем 5 минут и обновляем страницу.
3. Красная надпись сменилась на: "Для домена установлены некорректные DNS-сервера <список пуст или домен не существует>”. И ниже список DNS-серверов, которые необходимо использоваться. Для хостинга Ucoz.ru это сервера: ns1.ucoz.net и ns2.ucoz.net.

4. Идем на сайт, где вы регистрировали свой домен, заходим в аккаунт и меняем список DNS-серверов на DNS-сервера Ucoz’а. Сохраняем. Изменения вступят в силу через 6-12 часов.

5. По истечении этого времени возвращаемся в панель управления Ucoz. Вы должны увидеть надпись: "Домен настроен правильно. Завершите процедуру прикрепления”. Жмем кнопку "прикрепить домен”. Уже через 5-15 минут ваш сайт должен начать работать по этому адресу.

Замечание: Из-за смены адреса у вас слетит вся статистика, Тиц и т.п., так как все ссылки на ваш сайт изменится, так что прикреплять домен к сайту Ucoz Юкоз стоит как можно быстрее с момента его создания.
прикрепления домена у вас на сайте появится реклама от Ucoz – закрывающий часть страницы баннер от "бегуна”, неизбежное зло бесплатных хостингов,  тут можно почитать о том, как ее убрать.